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浅谈伴随矩阵在逆矩阵求解中的应用

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最近数学课上讲了矩阵,很久以前便对矩阵很有兴趣,但由于一些原因没有深入学习。正好趁这个机会,有思考了一下关于矩阵的内容。目前应用较广的应该是运用逆矩阵求解线性方程组,尤其对于三元一次方程组,运用逆矩阵求解会非常方便。

一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法。我们对这种情况不做深入讨论。

引理1:对于一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$,以及两个整数 $i,j$,其中 $1\leq i,j\leq n$。去掉 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行以及第 $j$ 列,得到一个 $n-1$ 阶子矩阵。记这个子矩阵的行列式为 $\mathbf{M}_{ij}$。称为余子式。

引理2:对于一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$,代数余子式是余子式 $\mathbf{M}_{ij}$ 与 $\left ( -1 \right )^{i+j}$ 的乘积,记作 $\mathbf{C}_{ij}$。

:对于矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 4 & 7\\ 3 & 0 & 5\\ -1 & 9 & 11 \end{bmatrix} $,计算它的代数余子式 $\mathbf{C}_{23}$。

:首先计算余子式 $\mathbf{M}_{23}$,即原矩阵去掉第二行以及第三行所得的矩阵的行列式:$ \begin{bmatrix} 1 & 4 & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc \\ -1 & 9 & \bigcirc \end{bmatrix} $,即 $ \begin{vmatrix} 1 & 4\\ -1 & 9 \end{vmatrix} = \left ( 9-\left ( -4 \right ) \right )=13 $。因此 $ \mathbf{C}_{23}=\left ( -1 \right )^{2+3}\cdot M_{23}=-13$。

引理3:对于一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$,由代数余子式组成的新的矩阵,称为该矩阵的余子矩阵。记作 $\mathbf{C}$。

引理4:对于一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$,定义它的转置矩阵 $\mathbf{A^{T}}$。转置矩阵 $\mathbf{A^{T}}$ 可以通过下列操作得到:把 $\mathbf{A}$ 的横行写为 $\mathbf{A^{T}}$ 的纵行,把 $\mathbf{A}$ 的纵行写为 $\mathbf{A^{T}}$ 的横行。

:$ \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{bmatrix} $。

引理5:对于一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$,它的余子矩阵 $\mathbf{C}$ 的转置矩阵称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵。记作 $\mathbf{A^{*}}=\mathbf{C^{T}}$。

:对于矩阵 $ \mathbf{A}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$,求它的伴随矩阵 $\mathbf{A^{*}}$。

:$ \mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix} \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\ \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22} \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} \mathbf{M}_{11} & -\mathbf{M}_{12}\\ -\mathbf{M}_{21} & \mathbf{M}_{22} \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} d & -c\\ -b & a \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}$。

:对于矩阵$ \mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$,求它的伴随矩阵 $\mathbf{A^{*}}$。

:$$\begin{align*} \mathbf{A^{*}} &=\begin{bmatrix} \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12} & \mathbf{C}_{13}\\ \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22} & \mathbf{C}_{23}\\ \mathbf{C}_{31} & \mathbf{C}_{32} & \mathbf{C}_{33} \end{bmatrix}^{T}\\ &=\begin{bmatrix} \mathbf{M}_{11} & -\mathbf{M}_{12} & \mathbf{M}_{13}\\ -\mathbf{M}_{21} & \mathbf{M}_{22} & -\mathbf{M}_{23}\\ \mathbf{M}_{31} & -\mathbf{M}_{32} & \mathbf{M}_{33} \end{bmatrix}^{T} \\ &= \begin{bmatrix} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix}^{T}\\ &=\begin{bmatrix} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix} \end{align*} $$ 其中 $\begin{vmatrix} a_{im} & a_{in}\\ a_{jm} & a_{jn} \end{vmatrix}=a_{im}\cdot a_{jn}-a_{in}\cdot a_{jm}$。

:对于矩阵 $\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-3 & 2 & -5\\ -1 & 0 & -2\\ 3 & -4 & 1 \end{bmatrix}$,求它的伴随矩阵 $\mathbf{A^{*}}$。

:通过计算不难得出 $\mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix} -8 & 18 & -4\\ -5 & 12 & -1\\ 4 & -6 & 2 \end{bmatrix}$。

引理6:对于一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$,它的逆矩阵 $\mathbf{A^{-1}}$ 与伴随矩阵 $\mathbf{A^{*}}$ 满足 $ \mathbf{A^{-1}} = \frac{\mathbf{A^{*}}}{\begin{vmatrix} \mathbf{A} \end{vmatrix}} $。其中 $ \begin{vmatrix*} \mathbf{A} \end{vmatrix*} $ 为矩阵 $\mathbf{A}$ 的行列式。

:对于矩阵 $\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$,求它的逆矩阵 $\mathbf{A^{-1}}$。

:$\mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix} 1 & -2\\ -2 & 3 \end{bmatrix},\begin{vmatrix} \mathbf{A} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-1,\mathbf{A^{-1}}=\frac{1}{\begin{vmatrix} \mathbf{A} \end{vmatrix}}\cdot \mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix} -1 & 2\\ 2 & -3 \end{bmatrix}$。

:对于矩阵 $\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 3 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} $,求它的逆矩阵 $\mathbf{A^{-1}}$。

:$\mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 3\\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix},\begin{vmatrix} \mathbf{A} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=1,\mathbf{A^{-1}}=\frac{1}{\begin{vmatrix} \mathbf{A} \end{vmatrix}}\cdot \mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 3\\ 3 & 4 & 5\end{bmatrix}$。

运用伴随矩阵来求解逆矩阵会方便很多,尤其是对于高阶矩阵。且使得逆矩阵的求法有规律可循,不需要死记公式。