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浅谈欧拉公式在富勒烯及其衍生物中的应用

前几天在做化学竞赛初赛试题时遇到一道关于富勒烯衍生物的习题。大意是求 $\mathrm{C_{50}Cl_{10}}$ 中单键的个数。但是去问浦建芳,她把施锦元叫了上来,大师兄便给我讲了欧拉公式。当天晚上没有完全弄清楚,回家谷歌以后,现在将内容整理如下。(以 $\mathrm{C_{50}Cl_{10}}$ 为例)

1、求 $\mathrm{C_{50}Cl_{10}}$ 中五边形以及六边形的个数

这类题目可以应用欧拉公式,设 $\mathrm{C_{50}Cl_{10}}$ 中存在 $x$ 个五边形及 $y$ 个六边形。由欧拉公式可以得到结果:

$$ \begin{cases} 50+x+y=\frac{5x+6y}{2}+2 \\ 50\times \frac{3}{2}=\frac{5x+6y}{2} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=12 \\ y=15\end{cases} $$

2、求 $\mathrm{C_{50}Cl_{10}}$ 中单键的个数

对于这类题目,可以考虑这样的一个加成反应:$\mathrm{C_{50}+5Cl_{2}} \rightarrow \mathrm{C_{50}Cl_{10}}$。这样的话,我们可以首先考虑 $\mathrm{C_{50}}$,根据(1)中方法求出其中五边形以及六边形的个数。从而得到一共有 75 根碳碳键。

考虑到 $\mathrm{C_{50}}$ 中每个碳原子边上有两个碳碳单键一根碳碳双键,即可得到碳碳单键数目是碳碳双键数目的两倍。这样可以确定 $\mathrm{C_{50}}$ 中有 50 根碳碳单键,25 根碳碳双键。

接着考虑加成的过程,在上述加成反应的过程中,断开了 5 根碳碳双键,这样就新形成了 5 根碳碳单键,从而得到 $\mathrm{C_{50}Cl_{10}}$ 中共有碳碳单键 55 根。