翻书复习之时，看到斐波那契数列，于是将一些关于数列递推关系方面的内容整理了一下。 定义1：一个常系数的 $k$ 阶线性齐次递推关系是形如 $a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}+\cdots+c_{k}a_{n-k}$ 的递推关系，其中 $c_{1},c_{2},\cdots,c_{k}$ 是实数，$c_{k}\neq 0$。 这个定义中递推关系是线性的，因为它的右边是数列前项的倍数之和。这个递推关系是齐次的，因为所出现的各项都是 $a_{j}$ 的倍数。数列各项的系数都是常数而不是依赖于 $n$ 的函数。阶为 $k$ 是因为 $a_{n}$ 由序列前面的 $k$ 项来表示。 例1：递推关系 $p_{n}=2p_{n-1}$ 是 $1$ 阶的线性齐次递推关系。递推关系 $f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}$ 是 $2$ 阶的线性齐次递推关系。 例2：递推关系 $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}^{2}$ 不是线性的。递推关系 $h_{n}=2h_{n-1}+1$ 不是齐次...

好久没来打理博客了，一直没时间。有时候想要写些文字也就这样耽搁了。比如说《谁是少数幸福的人——读<红与黑>有感》，这篇文章我写在了随笔本上，却一直没时间把它发到博客上来。慢慢发现现在我们自由支配的时间越来越少了，想要安安静静地阅读名家大作也就成了一种奢望。 高考三天在学校上课，我们在图文信息楼四楼最西边的小教室里。根据张伟兴的暗示，隔壁就成了食堂和棋牌室。三天上课，我们一共吃了三顿东池。中午休息的时候看电影，躲在心缘爱心社玩。还差点被周汉东抓到。高一的就没这么幸运了，第一天晚自习就吵得...

前几天在数学组听课的时候，做平面几何的题目，遇到了塞瓦定理。当时赵诚宇给我讲了一遍，现在再把它整理一下。 塞瓦定理：在 $\triangle ABC$ 中，若线段 $AD$、$BE$、$CF$ 通过同一点 $O$，则 $\frac {BD} {DC} \cdot \frac {CE} {EA} \cdot \frac {AF} {FB} =1$。 塞瓦定理逆定理：在 $\triangle ABC$ 中，若点 $D$、$E$、$F$ 分别在边 $AD$、$BE$、$CF$ 上，且满足 $\frac {BD} {DC} \cdot \frac {CE} {EA} \cdot \frac {AF} {FB} =1$，则线段 $AD$、$BE$、$CF$ 共点或彼此平行。（我们在此只研究共点的情形） Ceva 定理示意图 证明如下： 首先 $$\frac {BD} {DC}=\frac {S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}=\frac {S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ODC}} \Rightarrow \frac {BD} {DC}=\frac {S_{\triangle ABD}-S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ADC}-S_{\triangle ODC}}=\frac {S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle CAO}}$$ 同理 $$\frac {CE} {EA}=\frac {S_{\triangle BCO}}{S_{\triangle ABO}},\frac {AF}...

NOIP 2012 获奖证书 上面这张证书是星期四下午拿到的，至此 NOIP 2012 画上了一个不完美但却圆满的句号。 由于最近的一系列事件，加之以徐丹的高压政策下，我们被迫交出了机房的钥匙。一开始当然不会同意，但最后还是交出了钥匙。因为想明白了一些事情。首先，钥匙交给我们保管，是为了让我们在老师不在的时候可以进入机房得到联系。信息学不像数理化，只要一本题典，一堆草稿纸就可以应付的。但是，如果我们在机房，并不能干很多事情，并不能把时间全部高效利用，并不能 AC 更多的题目，而更多的时候是在磨洋工。那么这把钥匙给了我们，又有什么积极用处呢...

我记得在计算机复赛前一天晚上本想看看同余方程的解法，结果第二天就考到了。明天是数学竞赛初赛，简略的复习一下线性同余及中国剩余定理，顺便记下一些笔记。 定理1：令 $m$ 为正整数。若 $\begin{cases} a \equiv b \pmod m \\ c \equiv d \pmod m \end{cases}$，那么 $\begin{cases} a+c \equiv b+d \pmod m \\ ac \equiv bd \pmod m\end{cases}$。 证明：因为 $\begin{cases} a \equiv b \pmod m \\ c \equiv d \pmod m\end{cases}$，所以有整数 $s$ 和 $t$ 使 $\begin{cases} b=a+sm \\ d=c+tm\end{cases}$。于是 $$ \begin{cases} b+d=(a+sm)+(c+tm)=(a+c)+m(s+t)\\ bd=(a+sm)(c+tm)=ac+m(at+cs+stm) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a+c \equiv b+d \pmod m \\ ac \equiv bd \pmod m \end{cases}$$ 例：由于 $\begin{cases} 7 \equiv 2 \pmod 5 \\ 11 \equiv 1 \pmod 5\end{cases}$，从...

向生命的来处张望，不禁唏嘘，时光竟如此匆匆流过。 现在的我已是一名高二的学生，想想明年就要高考，却和理想的大学相差一些距离。前一阵子看了一本书，讲的是一个英语成绩班级倒数的人通过三年的努力成为全省第五的故事。当时感到了一股强大的正能量，过了几天，我根据自己的情况，也制定了一份计划，把刷英语由原来的自发变成了自觉。最近各门科目，尤其是理科上课教的非常快。似乎老师们都认为，把知识讲完了，通过做题就可以把那些没弄懂的都巩固了。这种思维固然不错，但是却显露着填压式教育的影子。 最近慢慢的，真的懂得了学习。以...

最近数学课上讲了矩阵，很久以前便对矩阵很有兴趣，但由于一些原因没有深入学习。正好趁这个机会，有思考了一下关于矩阵的内容。目前应用较广的应该是运用逆矩阵求解线性方程组，尤其对于三元一次方程组，运用逆矩阵求解会非常方便。 一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。我们对这种情况不做深入讨论。 引理1：对于一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$，以及两个整数 $i,j$，其中 $1\leq i,j\leq n$。去...

前几天在做化学竞赛初赛试题时遇到一道关于富勒烯衍生物的习题。大意是求 $\mathrm{C_{50}Cl_{10}}$ 中单键的个数。但是去问浦建芳，她把施锦元叫了上来，大师兄便给我讲了欧拉公式。当天晚上没有完全弄清楚，回家谷歌以后，现在将内容整理如下。（以 $\mathrm{C_{50}Cl_{10}}$ 为例） 1、求 $\mathrm{C_{50}Cl_{10}}$ 中五边形以及六边形的个数 这类题目可以应用欧拉公式，设 $\mathrm{C_{50}Cl_{10}}$ 中存在 $x$ 个五边形及 $y$ 个六边形。由欧拉公式可以得到结果： $$ \begin{cases} 50+x+y=\frac{5x+6y}{2}+2 \\ 50\times \frac{3}{2}=\frac{5x+6y}{2} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=12 \\ y=15\end{cases} $$ 2、求 $\mathrm{C_{50}Cl_{10}}$ 中单键的个数 对于这类题目，可以考虑这样的一个加成反应：$\mathrm{C_{50}+5Cl_{2}} \rightarrow \mathrm{C_{50}Cl_...

好久没更新博客了。英语课上把博客地址写在了黑板上，不知道郭华老师和周红娟老师会不会光临这么一个小角落。第一反应是博客的访问量可能会增加，接着就想到：如果周红娟老师看到我写的这些文章，岂不是贻笑大方。 先来说说卖泡面的事情吧。经过一个寒假的考虑和筹划。准备这个学期搞得稍微正规点。所以在开学的时候准备发行债券，无奈去年出现一例质量问题，所以没人敢买债券。既然这条融资途径无效，那么只能自己先垫出一部分。于是乎，昨天又去进货了，而且列了进货清单。还得感谢 Microsoft OneNote——这款平时用来记笔记的软件，在这种...

高中的一个重要的转折点——小高考，就这样过去了。写下一篇日志来记录一下小高考复习期间的一些感受和想法。打点计时器真可谓是人类一项伟大的发明。 这段时间，思考了很多，体会了很多，感悟了很多。且听我慢慢道来。 江畔何人初见月？江月何年初照人？ 人生代代无穷已，江月年年只相似。 短短的四句诗，却透出了人生渺小宇宙无限的感慨。我们终究是很渺小的，微不足道，试问千万年后，我们又在哪里呢？生命是那么渺小，于己，对于这个世界，我们有多大的意义呢？或许最大的意义就是不要让生命留下遗憾吧。于他，我们又为何要让俗世凡尘的喧...