关于二次曲线切线问题的研究

很早就想整理这部分的知识了,迫于时间原因,一直拖到现在。下面就圆、椭圆、双曲线、抛物线的切点弦进行一些研究。主要涉及两个方面,一个是关于曲线上某点的切线方程,另一个是关于曲线的切点弦方程。 一、关于曲线上某点的切线方程 1、圆 我们都知道,过圆$x^{2}+y^{2}=r^{2}\left ( r > 0 \right )$上一点$P\left(x_{0},y_{0}\right)$的切线方程是$x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$。下面我们就更为一般的情形进行探究: 定理1.1:给定圆$C:\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y- b\right )^{2}=r^{2}\left (...

2013年12月31日 · 4 分钟 · 1818 字 · Kai Wang

杂记(20130930)

随便写写,记录一下最近发生的事情。 高中最后一次运动会居然是在停课中度过的。不过比起化学组去省选的那些人还算幸运的,至少也参与了一点,虽然成绩只有一个引体向上。 29号晚自习,我在机房给高二的上课,讲解初赛的选择题。真正感觉到了「后生可畏」的感觉。本来想冲个省队的,但是我们的国赛在明年7月份,那时候我们已经毕业了,所以不能代表江苏省参赛。信息学竞赛就这点不好,各门竞赛大多高三才到炉火纯青的地步,却不给省队资格。虽然我们全国各地的高三选手联名向CCF抗议,但还是无疾而终。挺可惜的,但至少可以拿个省一回...

2013年9月30日 · 2 分钟 · 540 字 · Kai Wang

关于复数的一些补充

新版高中教材对复数内容进行了极大的删减,使得我们对于复数的认知还停留在最原始的阶段。殊不知,复数的应用非常广泛。现参考《高中数学·甲种本》以及搜集的一些资料,包括做过的例题,整理一下关于复数的内容。 一、复数的概念 1.1 数的概念的发展 数的概念是从实践中产生和发展起来的。早在原始社会末期,由于记数的需要,人们就建立起自然熟的概念。自然数的全体构成自然数集$\mathbf{N}$。 随着生产和科学的发展,熟的概念也得到了发展。 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的要求,人们引进了零和负数,把自然数看作...

2013年8月30日 · 26 分钟 · 12908 字 · Kai Wang

杂记(20130809)

今天同学聚会,感慨颇多。彼此分别已有两年,有些人还是像以前一样,有些人却已很难辨认。不禁喟叹「时间」的伟大。还是简单的提一下今天聚会的事情吧。 最令我意外的,是虞永春老师。没想到时隔三四年他还记得那次我踢球撞破眼睑去医院缝了好几针。一见面直接就问,上次缝针的那里还看得出吗。还有就是以前宿舍里的兄弟们,大家还是这么亲近,随意的开玩笑,嬉戏打闹,感觉很好。还有小伙伴们,我想死你们了!有些话无须多言,好兄弟们! 下面讲讲最近发生的一些事情吧,太零碎,将就着看吧。 有评价说我现在的博客学术味太浓厚,我也不知道...

2013年8月9日 · 2 分钟 · 751 字 · Kai Wang

扬州拾遗(零)

注:这篇文章在草稿箱里沉睡了许久,现在勉强将其写完,可能有所遗漏。 7月15日至7月24日去扬州参加了数学夏令营。现在将沿途一些所见所闻所感记录于此。这几天的经历可以用一句话来概括「生活单调的像巴甫洛夫的狗,日子凄惨的如薛定谔的猫。」 7月15日中午我们乘坐大巴从学校赶往扬州。当大巴驶在宽阔的长江大桥上,我被长江的宽阔与雄壮所折服。从杨舍到扬州有将近2小时45分钟的车程。去的路上大家都很激动,不断的拍照直播。 我们入住的宾馆叫做辰源宾馆,双人间,自由组合,我便和陈力江住在了一起。刚进入房间,一股恶臭扑...

2013年8月1日 · 5 分钟 · 2475 字 · Kai Wang

扬州拾遗(一):竞赛中的函数

一、函数问题基本方法 1. 数型结合法 例1:求方程 $ \left | x-1\right |=\frac{1}{x} $ 的正根的个数。 解:作图像得,正根个数为 $ 1 $ 。 例2:求函数 $ f\left(x\right)=\sqrt{x^{4}-3x^{2}-6x+13}-\sqrt{x^{4}-x^{2}+1} $ 的最大值。 解: $ f\left(x\right)=\sqrt{\left(x^{2}-2\right)^{2}+\left(x-3\right)^{2}}-\sqrt{\left(x^{2}-1\right)^{2}+x^{2}} $ 即表示点 $ P\left(x,x^{2}\right) $ 到点 $ A\left(3,2\right),B\left(0,1\right) $ 的距离之差,点 $ P $ 在抛物线 $ y=x^{2} $ 上。 易得点 $ P $ 在直线 $ l_{AB}:x-3y+3=0 $ 上,因此得到 $ P\left(\frac{1-\sqrt{37}}{6},\frac{19-\sqrt{37}}{18}\right) $ ,故 $$ \begin{align*} f\left(x\right)_{max} &=\sqrt{\left[\left(\frac{1-\sqrt{37}}{6}-3\right)^{2}+\left(\frac{19-\sqrt{37}}{18}-2\right)^{2}\right]-\left[\left(\frac{1-\sqrt{37}}{6}\right)^{2}+\left(\frac{19-\sqrt{37}}{18}-1\right)^{2}\right]} \\ &=\frac{2\sqrt{245+34\sqrt{37}}}{9} \end{align*}$$ 2. 函数性质的应用 例3:设 $ x,y\in\mathbf{R} $ ,且满足 $ \begin{cases} \left ( x-1 \right )^{3}+1997\left ( x-1 \right )=-1\\ \left ( y-1 \right )^{3}+1997\left ( y-1 \right )=1 \end{cases} $ ,求 $ x+y $ 。 解:考虑函数 $ f\left(s\right)=s^{3}+1997s $ ,该函数既是奇函数又是增函数。又 $ f\left(x-1\right)=-f\left(y-1\right) $ ,得 $ \left(x-1\right)+\left(y-1\right)=0 $ ,因此 $ x+y=2 $ 。 例4:奇函数 $ f\left(x\right) $ 在定义域 $ \left(-1,1\right) $ 内是减函数,又 $ f\left(1-a\right)+f\left(1-a^{2}\right)<0 $ ,求 $ a $ 的...

2013年7月25日 · 6 分钟 · 2890 字 · Kai Wang

浅谈鸽巢原理及其应用

鸽巢原理:如果 $k+1$ 个或更多的物体放入 $k$ 个盒子,那么至少有一个盒子包含了 $2$ 个或更多的物体。 有时候鸽巢原理也被称为抽屉原理,更准确地说应该叫做“狄利克雷抽屉原理”。至于狄利克雷这个名字,还有有趣的函数也是用他的名字命名的。它就是大名鼎鼎的狄利克雷函数 $$f\left(x\right)=\begin{cases}1,&x\in\mathbf{Q}\\ 0,&x\not\in\mathbf{Q}\end{cases}$$ 这个函数的有趣之处就在于它没有对应的图像。扯远了。 下面给出鸽巢原理的证明:假定 $k$ 个盒子中没有一个盒子包含的物体多余 $1$ 个,那么物体总数至多是 $k$,这与至少有 $k+1$ 物体矛盾。证毕。 例1:在一组 $367$ 个人中一定至少有 $2$ 个人有相同的生日,这是由于只有 $366$ 个可能的生日。...

2013年7月13日 · 3 分钟 · 1048 字 · Kai Wang

浅谈数列中常系数线性齐次递推关系的求解

翻书复习之时,看到斐波那契数列,于是将一些关于数列递推关系方面的内容整理了一下。 定义1:一个常系数的 $k$ 阶线性齐次递推关系是形如 $a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}+\cdots+c_{k}a_{n-k}$ 的递推关系,其中 $c_{1},c_{2},\cdots,c_{k}$ 是实数,$c_{k}\neq 0$。 这个定义中递推关系是线性的,因为它的右边是数列前项的倍数之和。这个递推关系是齐次的,因为所出现的各项都是 $a_{j}$ 的倍数。数列各项的系数都是常数而不是依赖于 $n$ 的函数。阶为 $k$ 是因为 $a_{n}$ 由序列前面的 $k$ 项来表示。 例1:递推关系 $p_{n}=2p_{n-1}$ 是 $1$ 阶的线性齐次递推关系。递推关系 $f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}$ 是 $2$ 阶的线性齐次递推关系。 例2:递推关系 $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}^{2}$ 不是线性的。递推关系 $h_{n}=2h_{n-1}+1$ 不是齐次...

2013年7月12日 · 3 分钟 · 1415 字 · Kai Wang

呓语(三):彷徨

好久没来打理博客了,一直没时间。有时候想要写些文字也就这样耽搁了。比如说《谁是少数幸福的人——读<红与黑>有感》,这篇文章我写在了随笔本上,却一直没时间把它发到博客上来。慢慢发现现在我们自由支配的时间越来越少了,想要安安静静地阅读名家大作也就成了一种奢望。 高考三天在学校上课,我们在图文信息楼四楼最西边的小教室里。根据张伟兴的暗示,隔壁就成了食堂和棋牌室。三天上课,我们一共吃了三顿东池。中午休息的时候看电影,躲在心缘爱心社玩。还差点被周汉东抓到。高一的就没这么幸运了,第一天晚自习就吵得...

2013年6月12日 · 4 分钟 · 1784 字 · Kai Wang

浅谈塞瓦定理在平面几何中的应用

前几天在数学组听课的时候,做平面几何的题目,遇到了塞瓦定理。当时赵诚宇给我讲了一遍,现在再把它整理一下。 塞瓦定理:在 $\triangle ABC$ 中,若线段 $AD$、$BE$、$CF$ 通过同一点 $O$,则 $\frac {BD} {DC} \cdot \frac {CE} {EA} \cdot \frac {AF} {FB} =1$。 塞瓦定理逆定理:在 $\triangle ABC$ 中,若点 $D$、$E$、$F$ 分别在边 $AD$、$BE$、$CF$ 上,且满足 $\frac {BD} {DC} \cdot \frac {CE} {EA} \cdot \frac {AF} {FB} =1$,则线段 $AD$、$BE$、$CF$ 共点或彼此平行。(我们在此只研究共点的情形) Ceva 定理示意图 证明如下: 首先 $$\frac {BD} {DC}=\frac {S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}=\frac {S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ODC}} \Rightarrow \frac {BD} {DC}=\frac {S_{\triangle ABD}-S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ADC}-S_{\triangle ODC}}=\frac {S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle CAO}}$$ 同理 $$\frac {CE} {EA}=\frac {S_{\triangle BCO}}{S_{\triangle ABO}},\frac {AF}...

2013年6月1日 · 2 分钟 · 526 字 · Kai Wang