一、函数问题基本方法 1. 数型结合法 例1:求方程 $ \left | x-1\right |=\frac{1}{x} $ 的正根的个数。 解:作图像得,正根个数为 $ 1 $ 。 例2:求函数 $ f\left(x\right)=\sqrt{x^{4}-3x^{2}-6x+13}-\sqrt{x^{4}-x^{2}+1} $ 的最大值。 解: $ f\left(x\right)=\sqrt{\left(x^{2}-2\right)^{2}+\left(x-3\right)^{2}}-\sqrt{\left(x^{2}-1\right)^{2}+x^{2}} $ 即表示点 $ P\left(x,x^{2}\right) $ 到点 $ A\left(3,2\right),B\left(0,1\right) $ 的距离之差,点 $ P $ 在抛物线 $ y=x^{2} $ 上。 易得点 $ P $ 在直线 $ l_{AB}:x-3y+3=0 $ 上,因此得到 $ P\left(\frac{1-\sqrt{37}}{6},\frac{19-\sqrt{37}}{18}\right) $ ,故 $$ \begin{align*} f\left(x\right)_{max} &=\sqrt{\left[\left(\frac{1-\sqrt{37}}{6}-3\right)^{2}+\left(\frac{19-\sqrt{37}}{18}-2\right)^{2}\right]-\left[\left(\frac{1-\sqrt{37}}{6}\right)^{2}+\left(\frac{19-\sqrt{37}}{18}-1\right)^{2}\right]} \\ &=\frac{2\sqrt{245+34\sqrt{37}}}{9} \end{align*}$$ 2. 函数性质的应用 例3:设 $ x,y\in\mathbf{R} $ ,且满足 $ \begin{cases} \left ( x-1 \right )^{3}+1997\left ( x-1 \right )=-1\\ \left ( y-1 \right )^{3}+1997\left ( y-1 \right )=1 \end{cases} $ ,求 $ x+y $ 。 解:考虑函数 $ f\left(s\right)=s^{3}+1997s $ ,该函数既是奇函数又是增函数。又 $ f\left(x-1\right)=-f\left(y-1\right) $ ,得 $ \left(x-1\right)+\left(y-1\right)=0 $ ,因此 $ x+y=2 $ 。 例4:奇函数 $ f\left(x\right) $ 在定义域 $ \left(-1,1\right) $ 内是减函数,又 $ f\left(1-a\right)+f\left(1-a^{2}\right)<0 $ ,求 $ a $ 的...